Аксиальные алгебры и связанные с ними группы

Известны богатые связи между группами и различными многообразиями алгебр. Например, теория групп Шевалле и их скрученных аналогов базируется на классификации простых конечномерных алгебр Ли. Йордановы алгебры, введенные при изучении квантовой физики, были успешно применены при решении ограниченной проблемы Бернсайда. Вертексные алгебры (VOA), ведущие своё происхождение из квантовой теории поля, дают подход к построению алгебры Грайса как компоненты веса 2 Moonshine VOA для спорадической группы Монстр. Аксиоматизация этого подхода привела к понятию алгебр Майораны.

Аксиальные алгебры включают в себя

• йордановы алгебры, порожденные идемпотентами,
• алгебры Майораны (в т.ч. алгебру Грайса),
• алгебры Мацуо, взаимно-однозначно соответствующие группам 3-транспозиций.

Тем самым аксиальные алгебры служат связующим звеном между простыми группами и важными примерами неассоциативных алгебр.

Основные результаты научной группы

1. Показано, что двойные оси, т.е. суммы двух ортогональных осей, в алгебре Матцуо удовлетворяют правилу слияния монстрового типа $(2\eta,\eta)$; классифицированы примитивные подалгебры, порождённые двумя одиночными или двойным осями.       
    
2. Описаны все разложения алгебры матриц третьего порядка над полем комплексных чисел в прямую сумму (как векторных пространств) двух подалгебр, причём одна из этих подалгебр содержит единичную матрицу.       
    
3. С точностью до сопряжения автоморфизмами описаны все операторы Роты - Бакстера как нулевого, так и ненулевого веса на простой четырёхмерной йордановой супералгебре $D_t$, рассматриваемой над алгебраически замкнутым полем характеристики 0; полученное описание включает в себя классификацию всех разложений $D_t$ в прямую сумму двух подалгебр.       
    
4. Доказано, что (2,3)-порождённые $OC_8$-группы конечны.       
    
5. Найдены достаточные условия, при которых аксиальная алгебра йорданова типа 1/2 содержит единицу и является алгеброй конечной ёмкости.       
    
6. В свободной альтернативной алгебре найдена новая серия центральных элементов.       
    
7. Получена характеризация псевдокомпозиционных алгебр как аксиальных алгебр с соответствующей таблицей слияния.       
    
8. Описаны все конечные связные группы 3-транспозиций, алгебры Мацуо которых имеют нетривиальные факторы, являющиеся йордановыми алгебрами.       
    
9. Изучено обобщение семейства III(α, 1/2,δ) двухпорождённых аксиальных алгебр монстрового типа из классификации Т. Ябе: описаны все оси, найдена форма Фробениуса и доказана простота таких алгебр.       
    
10. Доказано, что произвольная квадратичная конформная алгебра, построенная по специальной алгебре Гельфанда-Дорфман, вкладывается в универсальную ассоциативную обёртывающую конформную алгебру локальности $N$ = 3.

Список публикаций научной группы

1. Alexey Galt, Vijay Joshi, Andrey Mamontov, Sergey Shpectorov & Alexey Staroletov       
   Double axes and subalgebras of Monster type in Matsuo algebras   
   Communications in Algebra,  Volume 49, 2021 - Issue 10   
   https://doi.org/10.1080/00927872.2021.1917589   
    
2. V. Gubarev   
   Unital decompositions of the matrix algebra of order three   
   Communications in Algebra , Volume 49, 2021 - Issue 11   
   https://doi.org/10.1080/00927872.2021.1934690   
    
3. T. A. Bolotina & V. Yu. Gubarev   
   Rota–Baxter Operators on the Simple Jordan Superalgebra $D_{t}$   
   Siberian Mathematical Journal, volume 63, pages 637–650 (2022)   
   https://doi.org/10.1134/S0037446622040048   
    
4. J. McInroy, S. Shpectorov   
   Split spin factor algebras   
   Journal of Algebra, Volume 595, 1 April 2022, Pages 380-397   
   https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2021.12.022   
    
5. J. McInroy, S. Shpectorov   
   From forbidden configurations to a classification of some axial algebras of Monster type   
   Journal of Algebra, Volume 627, 1 August 2023, Pages 58-105   
   https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2023.03.003