Геометрический анализ и применения

$Геометрический анализ и его применения$

Геометрический анализ и его применения

Основное направление исследований группы – решение актуальных задач геометрического анализа. Главные области исследований составляют геометрическая теория функций и неголономная геометрия. В основе современной геометрической теории функций, кроме классического раздела, лежат тонкие свойства решений уравнений в частных производных (см. работы С. Л. Соболева), теория устойчивости в задачах механики сплошных сред (см. работы М. А. Лаврентьева) и теория отображений с ограниченным искажением (заложенная в работах Ю. Г. Решетняка).

Недавно ведущими учеными нашей группы

разработана обобщающая концепция, содержащая в качестве частного случая все разумные подходы к теории квазиконформных отображений;
получены содержательные применения новой теории при решении задач нелинейной теории упругости, в частности, доказано существование равновесия при деформации гиперупругих материалов;
доказано основополагающее свойство теории отображений с конечным искажением на общих группах Карно: такие отображения непрерывны.

Кроме того, в нашей группе разработаны новые методы, позволившие в ряде случаев

получить точную оценку количества интегральных линий горизонтальных векторных полей, соединяющих две точки на группе Карно (результаты могут быть полезны при решении задач роботехники и «о машинах с прицепами»);
получить новые результаты в геометрии Лобачевского и в экстремальном разбиении римановой сферы;
установить метрические свойства отображений групп Карно при отсутствии канонических дифференциальных свойств.

Основные результаты научной группы

Найдены экстремали произвольной левоинвариантной субфинслеровой метрики на группе Энгеля, определяемой распределением ранга 2
Найдены трехмерные подпространства всех четырехмерных алгебр Ли, их порождающие, и анормальные экстремали на связных группах Ли с этими алгебрами Ли и с левоинвариантными субфинслеровыми квазиметриками, определяемыми полуномами на таких подпространствах.
Завершена полная классификация правильных и полуправильных многогранников в евклидовых пространствах, множества вершин которых образуют нормальные однородные или однородные по Клиффорду-Вольфу метрические пространства.
На основе моделей Бельтрами-Пуанкаре в евклидовых полуплоскости и полупространстве для двумерных и трехмерных пространств Лобачевского дается простой вывод некоторых уравнений и неравенств Лобачевского из его первого опубликованного сочинения и изложены применения геометрии Лобачевского.
Найдены геодезические, кратчайшие, множества разреза и радиус инъективности сплюснутого эллипсоида вращения в трехмерном евклидовом пространстве.
Выведена формула коплощади для классов неконтактных отображений групп Карно произвольной глубины в двухступенчатые группы Карно
Установлена формула коплощади нового типа для класса достаточного гладких отображений групп Карно с сублоренцевой структурой, принимающих значения на нильпотентных градуированных группах и доказана единственность коэффициента коплощади
Описаны метрические свойства множеств уровня классов неконтактных отображений субримановых структур и контактных отображений сублоренцевых структур
Описаны гомеоморфизмы, индуцирующие ограниченные операторы композиции пространств функций ограниченной вариации на группах Карно
Доказана гёльдеровость следов функций класса Соболева на некоторых классах поверхностей на группах Карно
Исследована мера Хаусдорфа прообраза точки отображений с конечным искажением на группах Карно
Доказана открытость и дискретность отображений с конечным искажением на группах Карно при условии почти прозрачности и суммируемости внешнего коэффициента искажения. Построены примеры, показывающие неулучшаемость полученного результата
Выведены оценки модулей семейств кривых, отвечающих стандартным геометрическим конфигурациям над абстрактными поверхностями
Получены варианты принципа симметрии для модуля семейства кривых на абстрактной поверхности
Установлен принцип длины и площади для абстрактной поверхности над областью группы Карно
Получено эквивалентное функциональное и аналитическое описание классов гомеоморфизмов, геометрическое поведение которых обусловлено контролем поведения $p$-емкости конденсаторов в образе через весовую $q$-емкость в прообразе
Для достаточно регулярного метрического пространства с мерой получено непрерывное вложение гранд-пространства Соболева с показателем суммируемости меньшем размерности в пространство типа Лебега, которое в частности выражает дополнительную суммируемость функций из гранд-пространства Соболева
Разработана обобщающая концепция геометрической теории функций, содержащая в качестве частного случая все разумные подходы к теории квазиконформных отображений. В рамках этой концепции получены новые результаты о свойствах отображений
Получены содержательные применения новой теории при решении задач нелинейной теории упругости, в частности, доказано существование равновесия при деформации гиперупругих материалов
Доказано основополагающее свойство теории отображений с конечным искажением на общих группах Карно: такие отображения непрерывны
На пятимерной и шестимерной 2-ступенчатых группах Карно с горизонтальными распределениями размерности доказано, что любые 2 точки этих групп можно соединить горизонтальными ломаными, состоящими не более чем из 3 звеньев
Разработан метод доказательства того, что биективное отображение группы Гейзенберга, такое, что образы любых трех точек, лежащих на некоторой горизонтальной прямой, также лежат на некоторой горизонтальной прямой, является аффинно-контактным отображением.
Вычислен коэффициент Бельтрами для обратного отображения и найдено выражение для коэффициента Бельтрами композиции отображений.
Доказано, что если два квазиконформных отображения обладают коэффициентами Бельтрами, совпадающими почти всюду, то композиция прямого и обратного будет являться конформным отображением. Эти результаты требуются для описания локальных свойств квазиброуновских процессов на группе Гейзенберга.
Показано, как выражается диагональная асимптотика ядра теплопроводности в субримановом многообразии в терминах его горизонтального распределения, а также коприсоединённых орбит его нильпотентной аппроксимации. Рассмотрен конкретный пример многообразия, нильпотентной аппроксимацией которого является группа Гурса.

Организационная активность

Список публикаций научной группы

Карманова М. Б.
Формула коплощади для функций на 2-ступенчатых группах Карно с сублоренцевой структурой // Доклады Российской Академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020. Т. 491. С. 61-64.
https://doi.org/10.31857/S2686954320020137
Перевод: Karmanova M. B.
Coarea Formula for Functions on 2-Step Carnot Groups with Sub-Lorentzian Structure // Doklady Mathematics, 2020. V. 101, № 2. P. 129-131.
https://doi.org/10.1134/S1064562420020131
Карманова М. Б.
Пространственноподобие классов поверхностей уровня на группах Карно и их метрические свойства // Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020. Т. 492 С. 38-42.
https://doi.org/10.31857/S2686954320030108
Перевод: Karmanova M. B.
Space-Likeness of Classes of Level Surfaces on Carnot Groups and Their Metric Properties // Doklady Mathematics, 2020. V. 101, № 3. P. 205- 208.
https://doi.org/10.1134/S1064562420030102
Карманова М. Б.
Формула коплощади на группах Карно с сублоренцевой структурой для вектор-функций // Сибирский математический журнал, 2021. Т. 62, № 2. С. 298-325.
https://doi.org/10.33048/smzh.2021.62.205
Перевод:Karmanova M. B.
The coarea formula for vector functions on Carnot groups with sub-Lorentzian structure // Siberian Mathematical Journal, 2021. V. 62, № 2. P. 239-261.
https://doi.org/10.1134/S0037446621020051
Карманова М. Б.
Об аппроксимируемости и параметризации прообразов элементов групп Карно на сублоренцевых структурах // Математические заметки, 2022. Т. 111, № 1. С. 140-144.
https://doi.org/10.4213/mzm13362
Перевод: Karmanova M. B.
On the Approximability and Parametrization of Preimages of Elements of Carnot Groups on Sub-Lorentzian Structures // Mathematical Notes, 2022. V. 111, № 1. P. 152-156.
https://doi.org/10.1134/S0001434622010175
Карманова М. Б.
Сублоренцева формула коплощади для отображений групп Карно // Сибирский математический журнал, 2022. Т. 63, № 3. С. 587-612.
https://doi.org/10.33048/smzh.2022.63.309
Перевод: Karmanova M. B.
Sub-Lorentzian Coarea Formula on Carnot Groups // Siberian Mathematical Journal, 2022. V. 63, № 3. P. 485-508.
https://doi.org/10.1134/S0037446622030090
Карманова М. Б.
Субримановы свойства множеств уровня неконтактных отображений групп Гейзенберга // Математические труды, 2022. Т. 25, № 2. С. 1087-125.
https://doi.org/10.33048/mattrudy.2022.25.204        
Перевод: Karmanova M. B.
Sub-Riemannian Properties of Level Sets of Non-Contact Mappings of Heisenberg Group // Siberian Advances in Mathematics, 2023. V. 33, № 1. P. 28-38.
https://doi.org/10.1134/S1055134423010030
Карманова М. Б.
Субриманова формула коплощади для классов неконтактных отображений групп Карно // Математические заметки, принята к печати (2023)
Карманова М. Б.
Классы неконтактных отображений групп Карно и метрические свойства // Сибирский математический журнал, принята к печати (2023)
Basalaev S. G., Vodopyanov S. K.
Holder continuity of the traces of Sobolev functions to hypersurfaces in Carnot groups and the P-differentiability of Sobolev mappings // Siberian Mathematical Journal. 2023. V.64. N4. P.819-835.
DOI: https://doi.org/10.1134/S0037446623040043
Берестовский В. Н., Зубарева И. А.
Экстремали левоинвариантной субфинслеровой метрики на группе Энгеля // Сиб. матем. журн., 2020. Т. 61, № 4. С. 735-751.
https://doi.org/10.33048/smzh.2020.61.402        
Перевод: Berestovskii V. N., Zubareva I. A.
Extremals of a left-invariant sub-Finsler metric on the Engel group // Siberian Mathematical Journal, 2020. V. 61, № 4. P. 575-588.
https://doi.org/10.1134/S0037446620040023
Берестовский В. Н., Зубарева И. А.
Анормальные экстремали левоинвариантных субфинслеровых квазиметрик на четырехмерных группах Ли с трехмерными порождающими распределениями // Сибирский математический журнал, 2022. Т. 63, № 4. С. 748-767.
https://doi.org/10.33048/smzh.2022.63.403        
Перевод: Berestovskii V. N., Zubareva I. A.
Abnormal extremals of left-invariant sub-Finsler quasimetrics on four-dimensional Lie groups with three-dimensional generalizing distributions // Siberian Mathematical Journal, 2022. V. 63, № 4. P. 620-636.
https://doi.org/10.1134/S0037446622040036
Берестовский В. Н., Никоноров Ю. Г.
Полуправильные многогранники Госсета // Известия РАН. Серия математическая. 2022. Т. 86, Вып. 4. С. 51-84.
https://doi.org/10.4213/im9169
Перевод: Berestovskii V. N., Nikonorov Yu. G.
Semiregular Gosset polytopes // Izvestiya: Mathematics, 2022. V. 86, № 4. P. 667-698.
https://doi.org/10.4213/im9169e
Берестовский В. Н.
Геометрия Лобачевского и звездные параллаксы // Сибирский математический журнал, 2022. Т. 63, № 5. С. 994-1009.
https://doi.org/10.33048/smzh.2022.63.503
Перевод: Berestovskii V. N.
Lobachevsky geometry and stellar parallaxes // Siberian Mathematical Journal, 2022. V. 63, № 5. P. 834-848.
https://doi.org/10.1134/S0037446622050032
Берестовский В. Н., Мустафа А.
Радиус инъективности и кратчайшие сплюснутого эллипсоида вращения // Сибирский математический журнал, на рассмотрении редколлегии
Vodopyanov S. K.
Composition Operators on Weighted Sobolev Spaces and the Theory of Q𝑝-Homeomorphisms // Doklady Mathematics V. 102, pages 371–375 (2020)
https://doi.org/10.1134/S1064562420050440
Vodopyanov S. K.
On the Analytic and Geometric Properties of Mappings in the Theory of 𝒬𝑞,𝑝-Homeomorphisms // Mathematical Notes v. 108, pages 889–894 (2020)
https://doi.org/10.1134/S0001434620110310
Vodopyanov S. K.
The Regularity of Inverses to Sobolev Mappings and the Theory of 𝒬𝑞,𝑝-Homeomorphisms // Siberian Mathematical Journal v. 61, pages1002–1038 (2020)
https://doi.org/10.1134/S0037446620060051
Vodopyanov S. K.
Moduli inequalities for W1n-1,loc-mappings with weighted bounded (q, p)-distortion // Complex Variables and Elliptic Equations, Volume 66, Issue 6-7 (2021)
https://doi.org/10.1080/17476933.2020.1825396
Vodopyanov S. K.
On the Equivalence of Two Approaches to Problems of Quasiconformal Analysis // Siberian Mathematical Journal, v. 62, pages1010–1025 (2021)
https://doi.org/10.1134/S0037446620060051
Vodopyanov S. K., Evseev N. A.
Functional and Analytical Properties of a Class of Mappings of Quasiconformal Analysis on Carnot Groups // Siberian Mathematical Journal, v. 63, pages 233–261 (2022)
https://doi.org/10.1134/S0037446622020045
Трямкин М. В.
О некоторых свойствах модуля семейства кривых на абстрактной поверхности, Сиб. матем. журн., 63:3 (2022), 659–671
https://doi.org/10.33048/smzh.2022.63.314
Трямкин М. В.
Принцип длины и площади для функции на абстрактной поверхности над областью группы Карно, Сиб. электрон. матем. изв., 18:2 (2021), 1720–1734
https://doi.org/10.33048/semi.2021.18.132
Трямкин М. В.
Принцип симметрии и невырожденные семейства кривых на абстрактных поверхностях, Сиб. матем. журн., 62:6 (2021), 1409–1422
https://doi.org/10.33048/smzh.2021.62.615
Трямкин М. В.
Модульные оценки на абстрактных поверхностях над областью вращения и цилиндрическим кольцом, Матем. заметки, 108:2 (2020), 311–315
https://doi.org/10.4213/mzm12663
Tryamkin M. V.
The modulus of a family of curves on an abstract surface over a spherical ring, Сиб. электрон. матем. изв., 17 (2020), 1816–1822
https://doi.org/10.33048/semi.2020.17.123 27
Vodopyanov S.K. , Tomilov A.O.
Functional and analytic properties of a class of mappings in quasi-conformal analysis Izvestiya Mathematics, vol. 85, no. 5, 883-931 (2021)
https://doi.org/10.1070/IM9082
Pavlov S. V.
Grand Sobolev spaces on metric measure spaces // Siberian Mathematical Journal, 2022. V. 63, № 5. P. 956-966.
Greshnov A. V., Zhukov R. I.
Horizontal joinability on 5-dimensional 2-step Carnot group with horizontal distribution of co-dimension 2 // Algebra and Logic, to appear in 2023 (accepted)
Greshnov A., Zhukov R.
About Horizontal Joinability on the Canonical 3-step Carnot group with horizontal distribution of co-rank 2, Siberian Mathematical Journal, v. 62, no. 4, 2021, p. 598–606
DOI 10.1134/S0037446621040030
Greshnov Alexander
Optimal Horizontal Joinability on the Engel Group // Rendiconti Lincei - Matematica E Applicazioni, v. 32, no. 3, 2021, p. 535-547
DOI 10.4171/RLM/947